jueves, 13 de noviembre de 2008

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES (3x3)

Elegir dos ecuaciones y eliminar una variable por el método de suma y resta (se obtiene la ecuación 4).
Elegir dos ecuaciones y eliminar la misma variable por el método de suma y resta (se obtiene la ecuación 5).
Se toman las ecuaciones 4 y 5(formando un sistema de 2x2) y se resuelve por el método de preferencia, obteniendo el valor de dos incógnitas.
Se sustituye el valor de las incógnitas en la ecuación de preferencia (1, 2, 3) y se obtiene el valor de la tercera incógnita.
Ejemplo:
6x+5y+5z=39 …E1
x-16y+2z=-88 …E2
-3x+4y+4z=0 …E3

Paso 1:
3(-x-16y+2z=-88) …E2
-1(-3x+4y+4z=0) …E3
-3X-48Y+6Z=-264
+3X-4Y-4Z=0
-51Y-2Z=-264 …E4
Paso 2:
1(6x+5y+5z=39)
6(-x-16y+2z=-88)

6x+5y+5z=39
-6x-96y+12z=-528
= -91y+17z= -489 …E5
Paso3:
17(52y-2z=264) …E4
2(-91y+17z=-489) …E5
884y-34z=4488
-182y+34z=-978
702y=3510
y=3510/702
y=5
52y-2z=264
52(5)-2z=264
260-2z=264
-2z=264-260
-2z=4
z=4/(-2)
z=-2
Paso 4:

-3x+4y+4z=0
-3x+4(5)+4(-2)=0
-3x+20-8=0
-3x=0-20+8
-3x=-12
x=-12/(-3)
x=4
x= 4 y=5 z= -2

Comprobación:
6x+5y+5y=39
6(4)+5(5)+5(-2)=39
24+25-10=39
39=39
-x-16y+2z=-88
-(4)-16(5)+2(-2)=-88
-4-80-4=-88
-88=-88
-3x+4y+4z=0
-3(4)+4(5)+4(-2)=0
-12+20-8=0
0=0

MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN


MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN

Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de suma y resta es necesario:

METODO DE IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, e igualar los resultados.
De este modo se elimina una de las incógnitas, y se obtiene una sola ecuación lineal con una sola incógnita. Una vez resuelta esta ecuación, para calcular el valor de la otra incógnita se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema propuesto.
Para resolver de manera más precisa se siguen los siguientes pasos:
1. Crear un sistema de ecuaciones.
3x+y=17
x-y=-1
2. Enumerar cada una de las ecuaciones del sistema.

1) 3x+y=17
2) x-y=-1
3. Se despeja a la misma incógnita en las dos ecuaciones.

3x+y=31
y=17-3x
x-y=-1
-y=-1+x
-(y=-1+x)
y=1-x
4. Se igualan los valores de las incógnitas encontradas, es decir, las que se despejaron, de cada ecuación; con esto se construye una ecuación lineal en la que tendremos que despejar una variable.
3) 17-3x=1-x
5. se dejan en un miembro de la ecuación sólo las literales y del otro lado del miembro se dejan sólo los números, teniendo en cuenta que si se cambia de lugar, se cambia de operación, es decir si está sumando pasa restando, si está restando pasa sumando; si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa; y así sucesivamente, para obtener el valor de la primer incógnita.


-3x+x=1-17
-2x=-16
x=(-16)/(-2)
x=8

6. Se sustituye el valor de la variable en la otra ecuación, puede ser en una de las originales, aunque de preferencia se recomienda que en este paso sea en una de las ya despejadas.
y=1-x
y=1-(8)
y=7
7. Se realiza la comprobación de ambos valore sustituyéndolos en cada ecuación de sistema.
3x+y=31
3(8)+y(7)=31
24+7=31
31=31

x-y=1
8-7=1
1=1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones de nuestro sistema, y sustituir los valores encontrados en la otra ecuación.
De esta manera, se elimina una incógnita, y obtendremos una ecuación con una sola incógnita. Una vez resuelta la ecuación se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema para calcular el valor de la otra incógnita.
Dicho de otra forma, para dar solución a un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución seguimos los siguientes pasos:
1. Construir nuestro sistema de ecuaciones.
2x+y=6
x+4y=31
2. Enumerar las ecuaciones del sistema.
2x+y=6
x+4y=31
3. Se despeja una literal. De preferencia la que tenga el menor coeficiente. Para obtener así la ecuación numero 3.
2x+y=6
y=6-2x
4. Se sustituye el valor de la literal encontrada en la ecuación que no se trabajó.
x+4y=31
x+4(6-2x)=31
x+24-8x=31
5. A continuación se dejan en un miembro de la ecuación sólo las literales y del otro lado del miembro se dejan sólo los números, teniendo en cuenta que si se cambia de lugar, se cambia de operación, es decir si está sumando pasa restando, si está restando pasa sumando; si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa; y así sucesivamente, para obtener el valor de la primer incógnita.
7x=17-24
7x=-7
x=(-7)/7
x=-1
6. Se sustituye el valor de la variable en la otra ecuación (1)
2x+y=6
2(-1)+y=6
-2+y=6
y=6+2
y=8
7. Se realiza la comprobación de ambos valores sustituyéndolos en cada ecuación de sistema.
2x+y=6
2(-1)+(8)=6
-2+8=6
6=6

x+4y=31
+(-1)+4(8)=31
-1+32=31
31=31

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS (2×2)

Como ya se vió anteriormente se conocen diversos sistemas de resolución de sistemas ecuaciones, aunque todos llegan al mismo resultado, y tienen la misma eficacia, los más utilizados son:


1. Sustitución.
2. Igualación.
3. Suma y resta o de reducción.

SISTEMAS DE ECUACIONES.


Un sistema de ecuaciones está formado por dos o más ecuaciones; y cada ecuación puede tener “n” variables. También se les conoce como ecuaciones simultáneas.

Los métodos de solución de un sistema de ecuaciones más conocidos son analíticos y geográficos.
Analíticos:
 Suma y resta o de reducción.
 Sustitución.
 Igualación.
 Eliminación Gaossiana.
 Método de Gauss Jordan.


Para resolver un sistema de ecuaciones se deben encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad en ambas ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones puede tener las siguientes soluciones:
FINITA:

 Se unen en un punto específico con pares ordenados de la forma (x, y)

Los sistemas de ecuación pueden no tener solución, cuando:


 Los valores de las variables no satisfacen las igualdades.
 Una variable desaparece en la manipulación algebraica, es decir es un sistema inconsistente
.

ECUACIONES RACIONALES POLINOMIALES

Pasos para resolverlas:

1. Realizar las multiplicaciones indicadas
2. Enviar a un miembro de la igualdad todos los términos que contienen la incógnita y en el otro miembro todos los números.
3. Sumar los términos semejantes y despejar la incógnita.
4. Realizar la comprobación.

Nota: Si algún miembro de la igualdad es afectada por un denominador, éste se elimina realizando productos cruzados con se número.

Ejemplos:
3x-5=0
3x=0+5
3x=5
x=5/3 R.
Comprobación:
(5/3)(3/1)-5=0
5-5=0
0=0

5X+7=3X-9
5X-3x=-9-7
2x=-16
x=(-16)/2
x=-8 R.
Comprobación:
5(-8)+7=3(-8)-9
-40+7=-24-9
-33=-33