jueves, 13 de noviembre de 2008

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES (3x3)

Elegir dos ecuaciones y eliminar una variable por el método de suma y resta (se obtiene la ecuación 4).
Elegir dos ecuaciones y eliminar la misma variable por el método de suma y resta (se obtiene la ecuación 5).
Se toman las ecuaciones 4 y 5(formando un sistema de 2x2) y se resuelve por el método de preferencia, obteniendo el valor de dos incógnitas.
Se sustituye el valor de las incógnitas en la ecuación de preferencia (1, 2, 3) y se obtiene el valor de la tercera incógnita.
Ejemplo:
6x+5y+5z=39 …E1
x-16y+2z=-88 …E2
-3x+4y+4z=0 …E3

Paso 1:
3(-x-16y+2z=-88) …E2
-1(-3x+4y+4z=0) …E3
-3X-48Y+6Z=-264
+3X-4Y-4Z=0
-51Y-2Z=-264 …E4
Paso 2:
1(6x+5y+5z=39)
6(-x-16y+2z=-88)

6x+5y+5z=39
-6x-96y+12z=-528
= -91y+17z= -489 …E5
Paso3:
17(52y-2z=264) …E4
2(-91y+17z=-489) …E5
884y-34z=4488
-182y+34z=-978
702y=3510
y=3510/702
y=5
52y-2z=264
52(5)-2z=264
260-2z=264
-2z=264-260
-2z=4
z=4/(-2)
z=-2
Paso 4:

-3x+4y+4z=0
-3x+4(5)+4(-2)=0
-3x+20-8=0
-3x=0-20+8
-3x=-12
x=-12/(-3)
x=4
x= 4 y=5 z= -2

Comprobación:
6x+5y+5y=39
6(4)+5(5)+5(-2)=39
24+25-10=39
39=39
-x-16y+2z=-88
-(4)-16(5)+2(-2)=-88
-4-80-4=-88
-88=-88
-3x+4y+4z=0
-3(4)+4(5)+4(-2)=0
-12+20-8=0
0=0

MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN


MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN

Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de suma y resta es necesario:

METODO DE IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, e igualar los resultados.
De este modo se elimina una de las incógnitas, y se obtiene una sola ecuación lineal con una sola incógnita. Una vez resuelta esta ecuación, para calcular el valor de la otra incógnita se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema propuesto.
Para resolver de manera más precisa se siguen los siguientes pasos:
1. Crear un sistema de ecuaciones.
3x+y=17
x-y=-1
2. Enumerar cada una de las ecuaciones del sistema.

1) 3x+y=17
2) x-y=-1
3. Se despeja a la misma incógnita en las dos ecuaciones.

3x+y=31
y=17-3x
x-y=-1
-y=-1+x
-(y=-1+x)
y=1-x
4. Se igualan los valores de las incógnitas encontradas, es decir, las que se despejaron, de cada ecuación; con esto se construye una ecuación lineal en la que tendremos que despejar una variable.
3) 17-3x=1-x
5. se dejan en un miembro de la ecuación sólo las literales y del otro lado del miembro se dejan sólo los números, teniendo en cuenta que si se cambia de lugar, se cambia de operación, es decir si está sumando pasa restando, si está restando pasa sumando; si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa; y así sucesivamente, para obtener el valor de la primer incógnita.


-3x+x=1-17
-2x=-16
x=(-16)/(-2)
x=8

6. Se sustituye el valor de la variable en la otra ecuación, puede ser en una de las originales, aunque de preferencia se recomienda que en este paso sea en una de las ya despejadas.
y=1-x
y=1-(8)
y=7
7. Se realiza la comprobación de ambos valore sustituyéndolos en cada ecuación de sistema.
3x+y=31
3(8)+y(7)=31
24+7=31
31=31

x-y=1
8-7=1
1=1

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones de nuestro sistema, y sustituir los valores encontrados en la otra ecuación.
De esta manera, se elimina una incógnita, y obtendremos una ecuación con una sola incógnita. Una vez resuelta la ecuación se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema para calcular el valor de la otra incógnita.
Dicho de otra forma, para dar solución a un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución seguimos los siguientes pasos:
1. Construir nuestro sistema de ecuaciones.
2x+y=6
x+4y=31
2. Enumerar las ecuaciones del sistema.
2x+y=6
x+4y=31
3. Se despeja una literal. De preferencia la que tenga el menor coeficiente. Para obtener así la ecuación numero 3.
2x+y=6
y=6-2x
4. Se sustituye el valor de la literal encontrada en la ecuación que no se trabajó.
x+4y=31
x+4(6-2x)=31
x+24-8x=31
5. A continuación se dejan en un miembro de la ecuación sólo las literales y del otro lado del miembro se dejan sólo los números, teniendo en cuenta que si se cambia de lugar, se cambia de operación, es decir si está sumando pasa restando, si está restando pasa sumando; si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa; y así sucesivamente, para obtener el valor de la primer incógnita.
7x=17-24
7x=-7
x=(-7)/7
x=-1
6. Se sustituye el valor de la variable en la otra ecuación (1)
2x+y=6
2(-1)+y=6
-2+y=6
y=6+2
y=8
7. Se realiza la comprobación de ambos valores sustituyéndolos en cada ecuación de sistema.
2x+y=6
2(-1)+(8)=6
-2+8=6
6=6

x+4y=31
+(-1)+4(8)=31
-1+32=31
31=31

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS (2×2)

Como ya se vió anteriormente se conocen diversos sistemas de resolución de sistemas ecuaciones, aunque todos llegan al mismo resultado, y tienen la misma eficacia, los más utilizados son:


1. Sustitución.
2. Igualación.
3. Suma y resta o de reducción.

SISTEMAS DE ECUACIONES.


Un sistema de ecuaciones está formado por dos o más ecuaciones; y cada ecuación puede tener “n” variables. También se les conoce como ecuaciones simultáneas.

Los métodos de solución de un sistema de ecuaciones más conocidos son analíticos y geográficos.
Analíticos:
 Suma y resta o de reducción.
 Sustitución.
 Igualación.
 Eliminación Gaossiana.
 Método de Gauss Jordan.


Para resolver un sistema de ecuaciones se deben encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad en ambas ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones puede tener las siguientes soluciones:
FINITA:

 Se unen en un punto específico con pares ordenados de la forma (x, y)

Los sistemas de ecuación pueden no tener solución, cuando:


 Los valores de las variables no satisfacen las igualdades.
 Una variable desaparece en la manipulación algebraica, es decir es un sistema inconsistente
.

ECUACIONES RACIONALES POLINOMIALES

Pasos para resolverlas:

1. Realizar las multiplicaciones indicadas
2. Enviar a un miembro de la igualdad todos los términos que contienen la incógnita y en el otro miembro todos los números.
3. Sumar los términos semejantes y despejar la incógnita.
4. Realizar la comprobación.

Nota: Si algún miembro de la igualdad es afectada por un denominador, éste se elimina realizando productos cruzados con se número.

Ejemplos:
3x-5=0
3x=0+5
3x=5
x=5/3 R.
Comprobación:
(5/3)(3/1)-5=0
5-5=0
0=0

5X+7=3X-9
5X-3x=-9-7
2x=-16
x=(-16)/2
x=-8 R.
Comprobación:
5(-8)+7=3(-8)-9
-40+7=-24-9
-33=-33

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA DE PRIMER GRADO.

Para realizar un mejor análisis de las soluciones de las diferentes ecuaciones lineales con una variable las clasificaremos en:
Ecuaciones racionales polinomiales. Aquellas cuyas expresiones son racionales y están representadas en polinomios.

Ejemplos:

5x-5=0
(2x-3)/2=(3x-4)/5
Ecuaciones racionales no polinomiales: Aquellas ecuaciones que al menos tienen una expresión algebraica racional no polinomial, es decir, las variables se encuentran en el denominador.

Ejemplos:

2x/(x-1)-2= 3/(x+1)
1/(x+3)+1/x=2/(x+1)
Ecuaciones con radicales: Aquellas expresiones algebraicas que contienen radicales y al menos un subradical(lo que está adentro del radical) es una incógnita.
Ejemplos:
√2x+1=3
√(7x+11=√(1-3x))

Ecuaciones con valor absoluto: Aquellas ecuaciones en las que se tiene un valor absoluto y la incógnita se encuentra dentro de esos signos.

Ejemplos:
3x+8 =20

(3-4x)/2 =15

ECUACIONES

Para resolver una ecuación de primer grado con una variable, se utilizan las propiedades de la igualdad, que en resumen me indican que puedo cambiar un miembro a otro números y variables, y que cada vez que los cambio pasan al otro miembro realizando la operación contraria, es decir, si es suma, pasa restando; si está multiplicando, pasa dividiendo, y así sucesivamente, según corresponda.

Ejemplos:
5X+8=10
5X=10-8
5X=2
X=2/5

Despeje la variable “p”

5pxy+4ab=5ab-2x
5pxy=5ab-2x-4ab
5pxy=ab-2x
p=(ab-2x )/5xy R.

ECUACIÓN

Es una igualdad de cantidades, sólo que esta puede cumplirse o no.

Si la ecuación de cumple se hará una igualdad, y si no, se le llamará desigualdad o inecuación.

Ejemplos:
1. 2z+3y=4
2. m+h=21
Nota: Una igualdad se cumple si y solo si las variables toman ciertos valores.


Se cumple si:
10+11=21
9+12=21
8+13=21
7+14=21
6+15=21
5+16=21
4+17=21
3+18=21
2+19=21
1+20=21
0+21=21

IGUALDAD


Se define como la equivalencia entre dos o más cantidades.

Ejemplos:

1. 2+2=4
2. 16÷4=4
3. (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)/(1)(2)(3)(5)(6)(7) =4

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SIMPLES


Ejemplos:

Si a=2, b=3, c=4, d=5
*(a+b)(d-c)
=(2+3)(5-4)
=(5)(1)
=5
*2a+3c(4c+3d)^b
=2(2)+3(4)(4(4+3(5))^5
=4+12(16+15)^5
=16(31)^5
=16(28629151)
=458066416

RACIONALIZACIÓN


Racionalizar el denominador de una fracción cuyo denominador sea irracional, en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional.
Se presentan dos casos:



Caso I.
Racionalizar el denominador cuando es monomio



Caso II.
Racionalizar el denominador cuando es polinomio

Factorización por agrupación de términos

ab+ac+bd+dc

Los dos primeros términos tienen el factor común a y los dos últimos el factor común d. Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo +, y tendremos:
=a(b+c)+d(b+c)
=(a+d)(b+c)
Factorización de una diferencia de cuadrados

Se sabe que una diferencia de cuadrados es el resultado de multiplicar un binomio conjugado.
Se extrae la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo, y se multiplica la suma de etas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y del sustraendo. O sea:

a^2-b^2=(√(a))-(√b
=(a-b)(a+b)

Ejemplos:

1. x^2-y^2=(√x)-(y)
=(x-y)(x+y)
2. 16-n^10=(√16)-(√(2&n^10 ))
=(4-n^5 )(4+n^5 )
Factorización por factor común polinomio

1. Se busca el factor que aparezca en todos los términos, ese será el factor común, se toma el de menor grado.
2. Se pone como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir los términos de la expresión dada entre el factor común.

Ejemplos:

1. 2x^2+4x^3 b-6xbc^4+32x^4 bc
=2x(x+2x^2 b-3bc^4+16x^3 bc)

2. 3a^4 bdf^3-9a^2 b^2-27ab^5 c+93xabc
=3ab(1a^3 df^3-3ab-9b^4 c+31cx)

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS


Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.
Cubo de un binomio

Sabiendo que un binomio al cubo es la multiplicación de sí mismo tres veces, tenemos que:

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda. O sea:
(a+b)^2=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3

Ejemplos:

1. (x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8
2. (x^2-3y)^3=x^6-9x^4 y+27x^2 y^2-27y^3
Binomio con un término común

En estos productos encontramos sólo un término común, y el segundo término es diferente.
Son productos de la forma: (x+a)(x+b)
La regla es:
1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.
2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y en este término la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto.
3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplos:

1. (a+1)(a+2)=a^2+3a+2
2. (x+2)(x+4)=x^2+6x+8
Binomios conjugados

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Su resultado es una diferencia de cuadrados. Es decir:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Ejemplos:

1. (3x^7+4n^3 )(3x^7-4n^3 )=9x^49-16n^9
2. (5b^6-7s^4 )(5b^6+7s^4 )=25b^12-49s^8
Binomio al cuadrado

Se entiende que este binomio se multiplicará por sí mismo dos veces, y que su resultado es un trinomio cuadrado perfecto, y, tenemos que:

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Es decir:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Ejemplos:

1. (2x^2+4y^3 )^2=4x^4+16x^2 y^3+16y^6
2. (3z^4+6k^2 )^2=9z^8+36z^4 k^2+36k^4

PRODUCTOS NOTABLES

Se le llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.

División de dos polinomios

1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente
3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.
5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
División de un polinomio entre un monomio

1. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.

Ejemplos:

1. (3a^3-6a^2 b+9ab^2 )÷(3a)
(3a^3-6a^2 b+9ab^2)/3a=(3a^3)/3a-(6a^2 b)/3a+(9ab^2)/3a
=a^2-2ab+3b^2

2. (2a^x b^m-6a^(x+1) b^(m-1)-3a^(x+2) b^(m-2) )÷(-2a^3 b^4 )
=-(2a^x b^m)/(2a^3 b^4 )+(6a^(x+1) b^(m-1))/(2a^3 b^4 )+(3a^(x+2) b^(m-2))/(2a^3 b^4 )
=a^(x-3) b^(m-4)+3a^(x-2) b^(m-5)+3/2 a^(x-1) b^(m-6)
Multiplicación de polinomio por polinomio

1. Se multiplican todos los términos del multiplicado por cada uno de los términos de multiplicador, tomando en cuenta las leyes de los signos, las propiedades de los exponentes, después se reducen términos semejantes.

Ejemplo:

1. (a+n+c)(a^2 b-2abc+1/4 a^2 b)
= a^3 b-2a^2 bc+1/4 a^3 b+a^2 b^2-2ab^3 c+1/4 a^2 b^2+a^2 bc-2abc^2+1/4 a^2 bc
Multiplicación de monomio por polinomio

1. Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la ley de los signos y las propiedades de los exponentes.
Ejemplos:

1. (-5x^3 )(5x^2 b^3+3x^2 y^5-3x^2 y^2 )=-25x^5 b^3-15x^5 y^5+15x^5 y^2
2. (6a^3 b^2 )(3a^2 b^3+5c^3 ab^3 )=18a^5 b^5+30a^4 b^5 c
División de monomios

1. Se dividen los signos, teniendo en cuenta que signos iguales dan positivo y signos desiguales dan negativo.
2. Se dividen los coeficientes.
3. Se dividen la letras aplicando la propiedad de los exponentes:
a^n/( a^m )=a^(n-m)
Ejemplos:

1. 〖16x〗^2/4x=〖4x〗^(2-1)=4x
2. (75a^4 b^6 c^8)/(3a^2 b^2 c^3 )=25a^(4-2) b^(6-2) c^(8-3)=25a^2 b^4 c^5

OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Suma y resta de monomios

Para sumar restar monomios se suma o se restan los coeficientes de los TÉRMINOS SEMEJANTES y se deja la misma parte literal.
Ejemplos:
2x+3x=2+3=5x
6a^2+2a=6a^2+2a
Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos o más monomios se siguen los siguientes pasos:
1. Multiplican los signos, sabiendo que signos iguales dan como resultado positivo, y que signos diferentes dan negativo.
2. Multiplicar los coeficientes (números que acompañan a las letras).
3. Multiplicar las letras aplicando la propiedad de los exponentes
(a^n)(a^m)=a^((n)(n))

Ejemplos:
• −3𝑎𝑏32𝑎2𝑏=−6𝑎3𝑏4
• 8𝑥3𝑦𝑧24𝑥2𝑦3𝑧5=32𝑥5𝑦4𝑧7

EXPONENTES RACIONALES O FRACCIONARIOS

Provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del término radicando se divide por el índice de la raíz.
Hay que tomar en cuenta que todos los números positivos tienen raíz
√(n&a)=b
Puedo transformar un exponente radical a una raíz.
a^□(n/m)=√(m&a^n )
Ejemplos:
35x^□(3/4)=35∜(x^3 )
48x^□(8/6)=48√(6&x^8 )
Nota: el numerador de la fracción a la que esta elevada la base, será el radical de la raíz, y el denominador será el radicando de ésta.
Una raíz enésima de un producto de dos números es igual a:


√(n&ab)=(√(n&a))(√(n&b))
Ejemplos:
∜((5)(25) )=(∜5)(∜25)
∛((2)(8) )=(∛2)(∛8)

La raíz enésima de una raíz emésima es igual a:
√(n&√(m&a))=√((n)(m)&a)
La raíz enésima de una fracción es igual a:
√(n&a/b)=√(n&a)/√(n&b)
Ejemplos:
∛(5/6)=∛5/∛6
√(7&3/4)=√(7&3)/√(7&4)

NOTACIÓN CIENTÍFICA


Se define como la representación abreviada de un número multiplicado por una base diez elevada a la enésima potencia.
A= ax1o^n (“n” representa el número de veces que se recorrerá el punto)
Nota: el número que se multiplicará por la base diez será mayor de uno y menor que diez, es decir:
1≤a≤10
Ejemplos:
1. 32546879000000=3.2546879x〖10〗^13
2. 56987000000=5.6987x〖10〗^10
La notación científica se puede representar a la inversa, en cantidades negativas:

1. 0.0000000025874=2.5874x〖10〗^(-9)
2. 0.0000123=1.23x〖10〗^(-5)
8ª PROPIEDAD. Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.
(a/b )^(-n)= (b/a )^n

Ejemplos:

1. (3/4 )^(-3)= (4/3 )^3= 4^3/3^3 = 64/27
2. ((x^2 y)/(x^3 y) )^(-5)= ((x^3 y^2)/(x^2 y) )^5= (x^15 y^10)/(x^10 y^5 )=x^5 y^5

7ªPROPIEDAD.Esta propiedad anuncia que un coeficiente elevado a un exponente, cada término se elevara a ese exponente.
(a/b )^n=a^n/b^n
Ejemplos:

1. (2/4 )^3= 2^3/4^(3 ) = 8/64
2. (4/2 )^5= 4^5/2^3 = 1024/8=128
6ª PROPIEDAD. Establece que en el cociente con bases iguales, solamente los exponentes se restan.
(a^n/a^m )= a^(n-n)
Ejemplos:
1. (21x^2)/7x=3x^(2-1)
=3x

2. x^2/x^5 =x^(-3 )
= 1/x^3
Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.



Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.


Raíz cuadrada:



Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :


Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8


Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :


Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0


Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación

con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:













La expresión: D = b2 - 4.a.c
conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.


Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.

5ª PROPIEDAD. Dice que un producto elevado a un exponente, cada factor se eleva a ese exponente.
(ab)^n= a^n b^n
Ejemplos:
1. (5x)^2 = 5^2 x^2
= 25x^2
2. (-3y)^3 = -3^3 y^3
= -27y^3

4ª PROPIEDAD. Una base con doble exponente, se multiplican los exponentes

Ejemplo:

1. (5^3 )^2 = 5^((3)(2))
= 5^6
=15625
3ª PROPIEDAD. Establece que en el producto con bases iguales, los exponentes se sumarán, pasando la misma base.
a^n a^m= a^(n+m)

Ejemplos:
1. (2x^4)(2x^5) = 2^(4+5)
=2^7
=128

2. (5b^5)(5b^3) =5^(5+3)
=5^8
=390625
2ª PROPIEDAD. Esta establece que un número elevado a una potencia negativa, es el recíproco de la potencia negativa.

Ejemplos:

1. 32^(-5)= 1/〖32〗^5
2. 65^(-8)= 1/〖68〗^8
1ª PROPIEDAD. Esta dice que toda base elevada a la 0 potencia dará como resultado uno, siempre y cuando la base no sea cero:

a^0= 1
Ejemplos:

1. 2e^0= 1
2. 54v^0=1

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia

EXPONENTES:

Es un número superíndice que indica el
número de veces que se multiplica la base por sí misma.
Ejemplos:
1. 63^2
=(63)(63)
=3969

2. 10^5
= (10) (10) (10) (10) (10)
=1000000

TERMINOS SEMEJANTES


TERMINOS SEMEJANTES:

 Aquellos términos algebraicos que tienen el mismo grado relativo.
 Aquellas expresiones algebraicas que tienen las mismas variables y los mismos exponentes en esas variables.

Ejemplos:

1. 52s^3 r^2 + 43x^2 y^8 + 76s^3 r^2 – 14x^2 y^8
2. 655^(x+1) – 87^a2x + 87^a2x + 43^(x+1)

GRADO RELATIVO:

Se define como el exponente que le corresponde a cada una de las variables.

Ejemplos:

G.r (g,87f^5 g^3 h6)
= 3
= tercer grado

G.r (z,43x^7 y^2 z^9)
= 2
= segundo grado

GRADO ABSOLUTO:

Operación matemática realizada sobre una expresión algebraica.
Se obtiene con la suma de los exponentes de todas las variables.

Ejemplos:
G.a (32a^2 b^5 c^6)
= 2+5+6
= 13
= treceavo grado

G.a (64x^4 y^2 z^2)
= 4+2+2
= 8
= octavo grado

GRADO DE UN POLINOMIO


Es el exponente mayor de todos los términos:
Ejemplos:
32x^2 d6g4= sexto grado
33ab^4 c^7= séptimo grado

POLINOMIO

Expresión algebraica que consta de dos o más términos.

Ejemplos:

54x^2 yz + 23kl^8 m -9def^3
2jg^5 f + 43g^4 hj + 55ab^3 c

BINOMIO:


Expresión algebraica que consta de dos términos.

Ejemplos:

4x^2+16y^3
255a^4 dc^6-8ad^2 c^4

MONOMIO:

Expresión algebraica que costa de solamente un término.

Ejemplos:

54ax^2
4x^2

martes, 11 de noviembre de 2008

TERMINO ALGEBRAICO

Es aquella expresión que consta de signo, coeficiente (números), parte literal (letras) y exponentes.

Ejemplos:

· -5x2
· 5abc

LENGUAJE ALGEBRAICO



Utiliza expresiones algebraicas, es decir utiliza símbolos de operación (más, menos) agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, barras) y variables.

Ejemplos:

· María y sus amigos compraron tres paletas y seis refrescos, y pagaron veintitrés pesos.
3p+6f=23
· Adriana tenía ocho perros, se le murieron dos y ahora solo tiene seis.

8p-2p=6p

LENGUAGE COMUN:


Es aquel que utilizamos cotidianamente, es decir, palabras y enunciados con el que conceptualizamos un fenómeno.
Ejemplos:
• María y sus amigos compraron tres paletas y seis refrescos, y pagaron veintitrés pesos.
• Adriana tenía ocho perros, y se le murieron dos y ahora solo tiene dos.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Combinación de letras, números y signos de operaciones.
En otras palabras utiliza términos algebraicos. Las letras suelen representar cantidades desconocidas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje algebraico del lenguaje común.
Ejemplos:
• 65 x3 y5 z2
• 54 b2 c4 d7

División


Utilizamos el método que usualmente conocemos como sándwich.
Ejemplos:
(1/2)/(6/4)=(1)(4)/(2)(6) =4/12=2/6
(6/4)/(7/3)=(6)(3)/(4)(7) =28/18=14/9

Multiplicación:

Se realiza de forma directa, es decir en productos directos. Multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador.
Ejemplos:
(4/2)(6/12)(2/9)=48/216=24/108=12/54=6/27=2/9
(5/6)(9/4)(1/3)=45/72

Operaciones con fracciones

Suma y resta: Tenemos dos tipos de suma y resta, una es cuando los denominadores son semejantes y otra cuando no lo son.
Con igual denominador: 1/2+2/2 Para resolver esta operación se siguen los siguientes pasos:

Se escribe el mismo denominador: 1/2+2/2=/2
Se suman los numeradores: 1/2+2/2=(1+2)/2
Se simplifica la operación: 1/2+2/2=3/2

Con denominador diferente: 1/2+1/3 Realiza lo siguiente:
Obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores de cada sumando:

2,3 2
1,3 3 m.c.m = (2)(3) = 6
1,1

Poner el producto como denominador en otra fracción:
1/2+1/3=/6

Multiplicar ese número por cada numerador e cada sumando y dividirlo entre cada denominador, luego colocarlo en la otra fracción:
1/2+1/3=((6)(1)÷2+(6)(1)÷3)/6

Simplificar, sumar y/o restar la operación:
1/2+1/3=5/6

Clasificación de fracciones

Propias: Estas muestran un numerador más pequeño que su denominador.
Ejemplos:
1/2
3/6
Impropias: El numerador de estas fracciones es más grande que su denominador.
Ejemplos:
9/3
8/4

Mixtas: Presentan en su estructura una parte entera y una parte fraccionaria, esta puede ser propia o impropia.
Ejemplos:
5 6/2
64 1/2

FRACCIONES

Una fracción es la parte que se ha tomado de un todo.